复变函数与拉普拉斯变换复习要点记录

  1. 表示方法

    1. $$x + i y$$
    2. $$rcos\theta + risin\theta$$
    3. $$r^{i\theta}$$
  2. 运算

    1. $$|z_1z_2| = |z_1||z_2|$$, $$Arg(z_1z_2) = Argz_1 + Argz_2$$
    2. $$z^n = r^n(cos\theta + i sin \theta)^n = r^n(cosn\theta + isinn\theta) = r^ne^{in\theta}$$
  3. f(z)可导(解析)的充分必要条件为
    u(x, y), v(x, y)在在(x, y)处可微,且满足C-R条件
    $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ 且 $$\frac{\partial v}{\partial x} = – \frac{\partial u}{\partial y}$$
    此时$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$$ 或 $$f'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} – i \frac{\partial u}{\partial y}$$
  4. 初等解析函数

    1. $$e^z = e^x(cosy + isiny)$$ 周期为$$2n\pi i$$
    2. $$ln z = ln|z| + iargz$$, $$Ln z = ln z + i2k\pi$$, $$ln z$$称为对数主支
    3. $$z^u = e^{uLnz}$$
    4. $$sin z = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}$$, $$cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$
    5. $$sh z = \frac{e^z – e^{-z}}{2}$$, $$ch z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$$
  5. 若函数在C上连续,则f(z)在C上可积,且有
    $$\int_Cf(z)dz = \int_Cudx – vdy + i\int_Cvdx + udy$$
    该公式可以看成
    $$f = u + iv$$与$$dz = dx + idy$$相乘,得$$f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx – vdy + i(vdx + udy)$$在C上的积分
  6. 上面的积分方法略复杂,于是一般使用参数方程积分。
    $$\int_Cf(z)dz = \int_\alpha^\beta = f(z(t))z'(t)dt$$
  7. 柯西积分定理
    若f(z)在封闭曲线C及其包围的单连通区域D内解析,则$$\oint_Cf(z)dz = 0$$
    推论:解析函数的路径无关性
    在多连通区域则要求其在边界C(这个C包括内边界)以及D上解析
    所以对于解析函数有形变公式
    $$\oint_{C_0} f(z)dz = \oint_{C_1}f(z)dz$$
  8. 若函数解析,则无限阶解析,并可积
  9. 原函数定理
    上面已经提到解析函数积分的路径无关性,所以起点和终点即可定下积分值,固定起点$$z_0$$则可定义积分上限相关函数,记为$$F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta)d\zeta$$
    则$$F'(z) = f(z)$$
    推论1:因为起点$$z_0$$不同所得到的原函数至多差一个常数C。
    推论2:设G(z)为f(z)其中一个原函数,\int_Cf(z)dz = G(z1) – G(z0)
  10. 柯西积分公式(用边界的积分确定内部单点的值)
    若f(z)在有界闭区域D+C上解析,(C为D的边界),则$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z – z_0}dz$$
  11. 积分平均值定理
    如果曲线C是以$$z_0$$为中心,R为半径的圆周$$C_R$$,函数f(z)在$$|z-z_0| \leq R$$上解析,则$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta$$
    亦即,函数f(z)在圆心处的值等于它在圆周上的积分平均值。
    此式可以由柯西积分公式推得。
  12. 高阶导数的柯西积分公式
    若f(z)在有界闭区域D+C上解析,则$$f^n(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$
    可看成柯西积分公式两端对$$z_0$$求导
  13. 柯西不等式
    f(z)在闭圆盘上解析,则有$$|f^n(z_0)| \leq \frac{n!}{R^n}M$$
    $$M = \max_{|z-z_0|=R} |f(z)|$$
    柳维尔定理
    有界整函数f(z)必为常数
    代数学基本定理
    n次多项式必有n个零点(可能重合)
  14. 泰勒展开系数$$C_n = \frac{f^n(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{f(s)}{(s-z_0)^{n+1}}ds$$
    其中$$C_r$$为一个半径为r的圆,$$R_1 \leq r \leq R_2$$
  15. m级极点的充分必要条件
    f(z)可表示为$$f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$$
    g(z)在$$z_0$$解析,且$$g(z_0) \neq 0$$
  16. 留数,设$$z_0$$为孤立奇点
    泰勒展开系数中的$$C_{-1}$$,即$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_p}f(z)dz$$
    当$$z_0$$为单极点的时候,$$Res[f(z);z_0] = \lim_{z\rightarrow z_0} (z – z_0)f(z)$$
  17. 留数定理
    设D-{z1,z2,z3…}为多连通区域,则
    $$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n Res[f(z);z_k]$$
  18. $$\int_0^{2\pi}R(cos\theta, sin\theta)d\theta = 2\pi i \sum (Res[f(z),z_i]))$$
    其中$$z_i$$为单位圆内极点,$$f(z) = \frac{1}{iz} R(\frac{z^2+1}{2z}, \frac{z^2-1}{2zi})$$
  19. f(z)是D到G的保角映射当且仅当f(z)是D到G的解析双射.
  20. 黎曼映射定理
    设D和G是两个单连通区域,任取点$$z_0 \in D, w_0 \in G, \alpha$$则存在唯一的D到G的保角映射$$w=f(z)$$使得$$w_0 = f(z_0), arg f'(z_0) = \alpha$$
    也就是说,一个点的映射,以及这个点导数的arg,即可确定整个单连通区域的映射。

待续…

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