复变函数与拉普拉斯变换复习要点记录

  1. 表示方法

  2. 运算

    1. ,
  3. f(z)可导(解析)的充分必要条件为
    u(x, y), v(x, y)在在(x, y)处可微,且满足C-R条件

    此时
  4. 初等解析函数

    1. 周期为
    2. , , 称为对数主支
    3. ,
    4. ,
  5. 若函数在C上连续,则f(z)在C上可积,且有

    该公式可以看成
    相乘,得在C上的积分
  6. 上面的积分方法略复杂,于是一般使用参数方程积分。
  7. 柯西积分定理
    若f(z)在封闭曲线C及其包围的单连通区域D内解析,则
    推论:解析函数的路径无关性
    在多连通区域则要求其在边界C(这个C包括内边界)以及D上解析
    所以对于解析函数有形变公式
  8. 若函数解析,则无限阶解析,并可积
  9. 原函数定理
    上面已经提到解析函数积分的路径无关性,所以起点和终点即可定下积分值,固定起点则可定义积分上限相关函数,记为

    推论1:因为起点不同所得到的原函数至多差一个常数C。
    推论2:设G(z)为f(z)其中一个原函数,\int_Cf(z)dz = G(z1) - G(z0)
  10. 柯西积分公式(用边界的积分确定内部单点的值)
    若f(z)在有界闭区域D+C上解析,(C为D的边界),则
  11. 积分平均值定理
    如果曲线C是以为中心,R为半径的圆周,函数f(z)在上解析,则
    亦即,函数f(z)在圆心处的值等于它在圆周上的积分平均值。
    此式可以由柯西积分公式推得。
  12. 高阶导数的柯西积分公式
    若f(z)在有界闭区域D+C上解析,则
    可看成柯西积分公式两端对求导
  13. 柯西不等式
    f(z)在闭圆盘上解析,则有

    柳维尔定理
    有界整函数f(z)必为常数
    代数学基本定理
    n次多项式必有n个零点(可能重合)
  14. 泰勒展开系数
    其中为一个半径为r的圆,
  15. m级极点的充分必要条件
    f(z)可表示为
    g(z)在解析,且
  16. 留数,设为孤立奇点
    泰勒展开系数中的,即
    为单极点的时候,
  17. 留数定理
    设D-{z1,z2,z3...}为多连通区域,则

  18. 其中为单位圆内极点,
  19. f(z)是D到G的保角映射当且仅当f(z)是D到G的解析双射.
  20. 黎曼映射定理
    设D和G是两个单连通区域,任取点则存在唯一的D到G的保角映射使得
    也就是说,一个点的映射,以及这个点导数的arg,即可确定整个单连通区域的映射。

待续...

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