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求串A和串B偏序匹配的所有位置。偏序匹配就是保持大小关系的离散化后两个串一模一样。\[1 \leq |A|, |B| \leq 10^5, 1 \leq A_i, B_i \leq 25 \]
昨天网络赛的B题，我们当时随便弄了个$$25*(|A| + |B|)$$的hash就过了，后来在Vani那听说有n lg k(k为字符集大小)的做法，想了一下总算明白了。记录一下。
其实满足以下两条性质的匹配关系都能KMP：
- 匹配的前缀性质。也就是说：若$$A_{1..n}$$和$$B_{1..n}$$匹配，那么对于任意$$i=1..n$$，有$$A_{1..i}$$和$$B_{1..i}$$匹配。
- 偏序匹配符合传递性。假设用\(\approx\)表示两个串符合偏序匹配，那么$$A \approx B , B \approx C \Rightarrow A \approx C$$
既然能KMP了，关键就在于判断他们什么时候能往后面加一个字符。
考虑两个相同长度的串$$A_{1..n}, B_{1..n}$$他们已经能够构成偏序匹配，那么假设现在新增了一个元素，构成了$$A_{1..n+1}, B_{1..n+1}$$，那么他们同样能构成偏序匹配的充要条件是什么呢？
仔细想想不难YY到：
\(count(A_i < A_{n+1}) = count(B_i < B_{n + 1}), i = 1..n\)
\(count(A_i = A_{n + 1}) = count(B_i = B_{n + 1}), i = 1..n\)
\(count(A_i > A_{n + 1}) = count(B_i > B_{n + 1}), i = 1..n\)
因为n是固定的，所以只关注前两个条件即可。
然后这东西可以用树状数组维护。
KMP维护的实际是两个指针j和i，表示$$A_{j..i}$$ 和 $$B_{1..i-j+1}$$匹配，本质上i和j都是递增的，所以i加的时候把a[i]放进BIT，j加的时候扔出树状数组即可。
而模式串因为只和前缀比较，所以可以预处理出low和eq数组
时间复杂度 $$O(n \log_2 k)$$
空间复杂度 $$O(n)$$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
#define rep(i,n) for (int i = 0; i < (int)(n); i++)
#define foreach(it,v) for (__typeof((v).end()) it = (v).begin(); it != (v).end(); it++)
typedef pair <int, int> PII;
typedef long long ll;
const int N = 100005;
int n, m, p;
int a[N], b[N];
int Tr[30];
int low[N], eq[N];
int Next[N];
bool mat[N];
int get(int i) {
int res = 0;
for (; i; i -= i & -i) res += Tr[i];
return res;
}
void add(int i, int x) {
for (; i < = p; i += i & -i) Tr[i] += x;
}
void init() {
fill(Tr, Tr + p + 1, 0);
low[0] = eq[0] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
low[i] = get(b[i] - 1);
eq[i] = get(b[i]) - low[i];
add(b[i], 1);
}
}
int last;
bool ok(int *a, int lim, int x, int j) {
while (last < lim) add(a[last++], -1);
int l = get(x - 1), e = get(x) - l;
return l == low[j] && e == eq[j];
}
int f[N];
void kmp() {
fill(Tr, Tr + p + 1, 0);
fill(mat, mat + n + 1, 0);
int j = 0;
Next[1] = 0;
last = 1;
add(b[1], 1);
for (int i = 2; i <= m; i++) {
while (j && !ok(b, i - j, b[i], j + 1)) {
j = Next[j];
}
if (j == 0 || ok(b, i - j, b[i], j + 1)) j++;
Next[i] = j;
add(b[i], 1);
}
fill(Tr, Tr + p + 1, 0);
j = 0;
last = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (j && !ok(a, i - j, a[i], j + 1)) {
j = Next[j];
}
if (j == 0 || ok(a, i - j, a[i], j + 1)) {
j++;
}
if (j == m) {
mat[i] = 1;
j = Next[j];
}
add(a[i], 1);
}
}
int main() {
while (scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) != EOF) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d", &b[i]);
}
init();
kmp();
fill(f, f + n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = f[i - 1];
if (i - m >= 0) f[i] = max(f[i], f[i - m] + mat[i]);
}
printf("%d\n", f[n]);
}
}