作者存档：edward_mj

【题目大意】
给定一个有向带权图。1为源点，n为汇点。
求加一条权为无穷的边，并且改边的起始点和结束点都1V<=100
E<=V*(V-1)/2
【算法分析】
暴力加边判断肯定不可行。
于是，我们可以弄一个稍微不暴力的方法。
先对这个图求一次最大流。得到一个最小割。
我们加的边一定是这样的：起始点在源集合，结束点在汇集合。
那么dfs求出源集。
设加的边是然后我们将发现，加了边以后，新的增广路必然是这样的：S->p1->p2….->a->b->p3…->T。
于是我们可以从a->b这里截断两边分别求解。
就是在一开始最小割的残余网络中，
若i∈源集，那么FF[i]=maxFlow (S->i)
若i∈汇集，那么FF[i]=maxFlow (i->T)
最终答案将是Max ( Min(FF[i],FF[j]) + initFlow ) 其中i∈源集，j∈汇集。initFlow为原图最小割。
【其它】1Y。
【CODE】
#include #include #include #include using namespace std;
const int N=105;
struct edge{int x,y,c,next;}g[N*N],tg[N*N];
int n,m,e,S,T,Flow;
int ls[N],d[N],fa[N],cur[N],num[N],v[N],FF[N];

void addedge(int x,int y,int c){
g[++e].x=x; g[e].y=y; g[e].c=c; g[e].next=ls[x]; ls[x]=e;
g[++e].x=y; g[e].y=x; g[e].c=0; g[e].next=ls[y]; ls[y]=e;
}

void init(){
e=1; memset(ls,0,sizeof(ls));
scanf("%d%d",&n,&m);
int x,y,c,i;
for (i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
addedge(x,y,c);
}
}

void relabel(int k){
cur[k]=ls[k];
int mm=n;
for (int t=ls[k];t;t=g[t].next)
if (g[t].c && d[g[t].y] mm=d[g[t].y];
d[k]=mm+1;
}

void change(){
int nf=0x7FFFFFFF;
for (int i=T;i!=S;i=g[fa[i]].x)
if (g[fa[i]].c for (int i=T;i!=S;i=g[fa[i]].x){
g[fa[i]].c-=nf;
g[fa[i]^1].c+=nf;
}
Flow+=nf;
}

void sap(){
int i;
for (i=1;i<=n;i++){
num[i]=0;
d[i]=0;
cur[i]=ls[i];
}
num[0]=n;
i=S;
while (d[S] int &t=cur[i];
for (;t;t=g[t].next)
if (g[t].c && d[g[t].y]+1==d[g[t].x]) break;
if (t){
fa[g[t].y]=t;
i=g[t].y;
if (i==T){
change();
i=S;
}
}
else{
if (!–num[d[i]]) break;
relabel(i);
++num[d[i]];
if (i!=S) i=g[fa[i]].x;
}
}
}

void dfs(int p){
v[p]=1;
for (int t=ls[p];t;t=g[t].next)
if (g[t].c && !v[g[t].y]) dfs(g[t].y);
}

void solve(){
memset(v,0,sizeof(v));
dfs(1);
for (int i=2;i<=e;i++) tg[i]=g[i];
int initFlow=Flow,ans=Flow;
for (int i=2;i if (v[i]){
S=1; T=i;
Flow=0;
for (int j=2;j<=e;j++) g[j]=tg[j];
sap();
FF[i]=Flow;
}
else{
S=i; T=n;
Flow=0;
for (int j=2;j<=e;j++) g[j]=tg[j];
sap();
FF[i]=Flow;
}
for (int i=2;i for (int j=2;j if (v[i] && !v[j] && min(FF[i],FF[j])+initFlow>ans)
ans=min(FF[i],FF[j])+initFlow;
printf("%dn",ans);
}

int main(){
freopen("war.in","r",stdin);
freopen("war.out","w",stdout);
int Tc,i;
scanf("%d",&Tc);
for (i=0;i init();
S=1; T=n; Flow=0;
sap();
solve();
}
return 0;
}

【题目链接】http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1475
【算法分析】
就是求一个二分图的最大点权独立集。
首先我们对图黑白染色，然后白的放X部，黑的放Y部。
再次假设我们取到所有格子上的权。
然后我们尝试最小割的一般构造方法。
对于X部点，如果属于割中源的那一边。那么就当做取这个点。如果属于汇的那一边，则不取。
对于Y部点，如果属于割中源的那一边。那么就当做不取这个点。如果属于汇的那一边，则取。
于是对应地连边。
对于i∈X部，那么连边S->i，容量应当是Wi。
对于i∈Y部，那么连边i->T，容量应当是Wi。
那么相邻的格子连边容量为INF.
对于割，证明命题：如果两点相邻，那么他们不会同时取。
先假设他们同时取了。
对于X部点，被割在了源那一边。
对于Y部点，被割在了汇那一边。
那么：这两点之间那条边，就成了割边！
又由于它是容量为INF的。那么不可能成为割边。
于是反证得上面的命题成立。
最后本题用最小割完美解决。
【其它】1Y。
【CODE】
#include #include #include const int N=35;
const int INF=0x7FFFFFFF;
struct edge{int x,y,c;edge *next,*op;}g[205555],*ls[N*N],*cur[N*N],*fa[N*N];
int n,S,T,e,Flow,Sum;
int color[N][N],num[N*N],d[N*N];

int pos(int x,int y){
if (x<1 || x>n || y<1 || y>n) return -100000;
return (x-1)*n+y;
}

void addedge(int x,int y,int c){
if (x<0 || y<0) return;
g[++e].x=x; g[e].y=y; g[e].c=c; g[e].next=ls[x]; ls[x]=&g[e]; g[e].op=&g[e+1];
g[++e].x=y; g[e].y=x; g[e].c=0; g[e].next=ls[y]; ls[y]=&g[e]; g[e].op=&g[e-1];
}

void init(){
scanf("%d",&n);
S=0; T=n*n+1;
e=0; memset(ls,0,sizeof(ls));
Sum=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int w,j=1;j<=n;j++){
if (j==1) color[i][j]=1-color[i-1][j];
else color[i][j]=1-color[i][j-1];
scanf("%d",&w);
Sum+=w;
if (color[i][j]){
addedge(S,pos(i,j),w);
addedge(pos(i,j),pos(i-1,j),INF);
addedge(pos(i,j),pos(i+1,j),INF);
addedge(pos(i,j),pos(i,j-1),INF);
addedge(pos(i,j),pos(i,j+1),INF);
}
else addedge(pos(i,j),T,w);
}
}

void relabel(int p){
cur[p]=ls[p];
int mm=T;
for (edge *t=ls[p];t;t=t->next)
if (t->c && d[t->y] d[p]=mm+1;
}

void change(){
int nf=INF;
for (int i=T;i!=S;i=fa[i]->x)
if (fa[i]->c Flow+=nf;
for (int i=T;i!=S;i=fa[i]->x){
fa[i]->c-=nf;
fa[i]->op->c+=nf;
}
}

void sap(){
int i;
Flow=0;
for (i=S;i<=T;i++){
d[i]=num[i]=0;
cur[i]=ls[i];
}
i=S;
while (d[S]<=T){
edge *&t=cur[i];
for (;t;t=t->next)
if (t->c && d[t->y]+1==d[t->x]) break;
if (t){
fa[t->y]=t;
i=t->y;
if (i==T){
change();
i=S;
}
}else{
if (!–num[d[i]]) break;
relabel(i);
++num[d[i]];
if (i!=S) i=fa[i]->x;
}
}
}

int main(){
init();
sap();
printf("%dn",Sum-Flow);
}